Projection et composante orthogonale

Principe

Propriété :
Soit $U\subset E$ un sous-espace
Alors $\forall x\in {{E}},\exists!y\in {{U}},\exists!z\in {{U^\perp}}$ tel que $${{x=y+z}}\quad\text{ et }\quad{{\langle y,z\rangle=0}}$$
On les note :

$y={{\operatorname{pr}_U(x)}}$ la projection de $x$ sur $U$
$z={{\operatorname{ort}_U(x)}}$ la composante orthogonale de $x$

$U\subset E$ est un sous-espace vectoriel
$x\in E$

$$\Huge\iff$$

il existe un unique $\operatorname{pr}_U(x)\in U$ et un unique $\operatorname{ort}_U(x)\in U^\perp$ tels que $$x=\operatorname{pr}_U(x)+\operatorname{ort}_U(x)\quad\text{ et }\quad\langle \operatorname{pr}_U(x),\operatorname{ort}_U(x)\rangle=0$$

(Ensembles orthogonaux - Complément orthogonal)

Soit $U\subset E$ un sous-espace
Alors montrer que $\forall x\in E,\exists!y\in U,\exists!z\in U^\perp$ tel que $$x=y+z\quad\text{ et }\quad\langle y,z\rangle=0$$
On les note :

$y=\operatorname{pr}_U(x)$ la projection de $x$ sur $U$
$z=\operatorname{ort}_U(x)$ la composante orthogonale de $x$

Unicité : on suppose que deux existent $\to$ soustraction
On a l'unicité comme ceci : $$x=y_1+z_1=y_2+z_2\implies y_1-y_2=z_2-z_1\quad\text{ avec }\quad z_i\in U^\perp,y_i\in U$$

Donc $$y_1-y_2\perp z_2-z_1\quad\text{ et }\quad y_1-y_2=z_2-z_1=0$$ car il est isotrope
D'où $y_1=y_2$ et $z_2=z_1$

Existence : cas $x\in U$
Existence :
Si $x\in U$, alors on pose $y=x$ et $z=0$

Cas $x\notin U$ $\to$ orthogonaliser le système $\{x,e_1,\dots,e_n\}$
Si $x\notin U$, on choisit une base $\{e_1,\dots,e_n\}$ de $U$
Le système $\{x,e_1,\dots,e_n\}$ est libre (car $x\notin U$)
En appliquant la méthode de Gram-Schmidt à $\{x,e_1,\dots,e_n\}$, on obtient une base orthogonale

Expression du dernier vecteur
On obtient une base orthogonale $\{v_1\dots,v_{m+1}\}$ de $\operatorname{Vect}\{U,x\}$ et $$\underbrace{v_{m+1}}_z=x-\sum^{m}_{i=1}\frac{\langle v_i,e_i\rangle}{q(v_i)}v_i$$

Conclusion

On a alors bien $x=y+z$ avec $y\in U$ et $z\in U^\perp$

(Algorithme de Gram-Schmidt)

Propriétés

Obtention via Gram-Schmidt

$\operatorname{ort}_U(x)$ est le dernier vecteur de la base orthogonale obtenue via le théorème de Gram-Schmidt
(Algorithme de Gram-Schmidt)

Distance entre un point et un sous-espace

Si $U=\operatorname{Vect}\{e_1,\dots,e_n\}$, on a par Gram-Schmidt : $${{\lVert\operatorname{ort}_U(x)\rVert}}={{x-\sum^k_{i=1}\frac{\langle x,e_i\rangle}{q(e_i)}e_i }}={{\sqrt{\frac{\operatorname{det} G(e_1,\dots,e_k,x)}{\operatorname{det} G(e_1,\dots,e_k)} } }}={{d(x, U)}}$$

Algorithme pour obtenir la distance entre un point et un sous-espace

Exercices

Démonstration de propriétés

Pour les vecteurs $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(y_1,\dots,y_n)$ dans $E={\Bbb R}^n$, on pose $$\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum^n_{i=1}x^2_i}$$ et $\rho(x,y)=\lVert x-y\rVert$ une distance
Pour un sous-espace $U$ de $E$, on pose $$\rho(x,U)=\inf_{y\in U}\rho(x,y)$$ en utilisant la méthode de Gram-Schmidt, démontrer que $\rho(x,U)=\lVert\operatorname{ort}_U(x)\rVert$

On fixe une base orthogonale $\to$ cas $x\in U$
On fixe une base orthogonale $\{e_1,\dots,e_k\}$ de $U$ par Gram-Schmidt
Si $x\in U$, alors $\operatorname{pr}_U(x)=x$, $\operatorname{ort}_U(x)=0$ et $\rho(x,U)=0$ car $x\in U$

Cas $x\notin U$ : on complète la base de $U$ par $x$
Si $x\notin U$, alors $\{e_1,\dots,e_k,x\}$ est une base de $V=\operatorname{Vect}\{x,U\}=\operatorname{Vect}\{e_1,\dots,e_k,x\}$ et $\operatorname{dim} V=k+1$

Expression de $\operatorname{ort}_U(x)$ par GS
Par Gram-Schmidt, $$\operatorname{ort}_U(x)=x-\sum^k_{i=1}\frac{\langle x,e_i\rangle}{q(e_i)}\quad\text{ et }\quad\langle z,e_j\rangle=\langle x,e_j\rangle-\langle x,e_j\rangle=0$$

Mq la distance (définie par $\inf$) est bien ça par l'absurde + th de Pythagore

Montrons que $\rho(x,U)=\lVert\operatorname{ort}_U(x)\rVert$ :
Soit $y$ un autre projeté orthogonal de $x$ sur $U$
Alors le triangle $\triangle xyy^\prime$ est droit et $\angle xyy^\prime=\frac\pi2$ d'où, d'après Pythagore : $$\lVert z^\prime\rVert^2=\lVert z\rVert^2+\lVert u\rVert^2\quad\text{ avec }\quad u\gt 0$$

Pour les vecteurs $x=(x_1,\dots,x_n)$ et $y=(y_1,\dots,y_n)$ dans $E={\Bbb R}^n$, on pose $$\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{\sum^n_{i=1}x^2_i}$$ et $\rho(x,y)=\lVert x-y\rVert$ une distance
Pour un sous-espace $U$ de $E$, on pose $$\rho(x,U)=\inf_{y\in U}\rho(x,y)$$ on a $\rho(x,U)=\lVert\operatorname{ort}_U(x)\rVert$. En déduire que : $$\rho(x,U)=\sqrt{\frac{\operatorname{det} G(e_1,\dots,e_k,x)}{\operatorname{det} G(e_1,\dots,e_k)}}$$

GS $\to$ $q=$ rapport de $\delta$, qui sont des déterminants

Pour calculer cette distance, on peut utiliser le théorème de Gram-Schmidt, qui nous donne : $$\lVert\operatorname{ort}_U(x)\rVert^2=q(\operatorname{ort}_U(x))=\frac{\delta_{k+1}}{\delta_k}=\frac{\operatorname{det} G(e_1,\dots,e_k,x)}{\operatorname{det} G(e_1,\dots,e_k)}$$

Dans ${\Bbb R}^4$, trouver la distance entre le sous-espace $\Pi$ et le point $p$ donnés ci-dessous
Préciser les vecteurs dont la norme est égale à cette distance
$$\Pi=\{(x,y,z,t):-y+z-2t=0\}\quad\text{ et }\quad p=(1,1,1,1)$$

Vérifier que $p\notin\Pi$
$p\notin\Pi$ car il ne vérifie pas l'équation

Base de $\Pi$ $\to$ vérifier que c'est libre
On cherche une base de $\Pi$ : $$v_1=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\qquad v_2=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\qquad v_3=\begin{pmatrix}0\\ -2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$$ $\{v_1,v_2,v_3\}$ est bien libre, donc c'est une base de $\Pi$

Déterminant des matrices de Gram
Puisque $p\notin\Pi$, $\{v_1,v_2,v_3,p\}$ est une base de ${\Bbb R}^4$
$$\begin{align}\operatorname{det} G(v_1,v_2,v_3)&=\operatorname{det}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&-2\\ 0&-2&5\end{pmatrix}=6\\ \operatorname{det} G(v_1,v_2,v_3,p)&=\operatorname{det}\begin{pmatrix}1&0&0&1\\ 0&2&-2&2\\ 0&-2&5&-1\\ 1&2&-1&4\end{pmatrix}=4\end{align}$$

Donc $$\rho(p,\Pi)=\sqrt{\frac46}=\sqrt{\frac23}$$

Math'φsics